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GÉOMÉTRIE. — Sur la déformation des surfaces et, en particulier, 

 des quadriques. Note de M. L. Raffy. 



« Dans un travail inséré en 1894 au Bulletin de la Société mathématique 

 de France, j'ai fait ressortir l'intérêt qu'il y a, pour étudier la déformation 

 des surfaces, à se servir des équations aux asyinptotiqu.es, données par 

 M. Darboux (Théorie des surfaces, t. III, p. 290). Ces équations, qui défi- 

 nissent les coordonnées curvilignes (u, v) d'une surface en fonction des 

 paramètres («, (3) des lignes asymptotiques des surfaces applicables sur 

 elle, sont les suivantes: 



d'u / <JlogA-H R \du du 

 d*d$ + \ du 0, )d* dp 



(I) 



du dv\ r di 



) di. 0? 



<?''■ ( d\og 

 d*dp ^\ di 



(i_ d\o% k 

 + U du 



„ \ (du di' du fA'\ . du du 

 V \di dp d^ ai) ' d* dp 



les lettres H, A, B, B,, C ont des significations bien connues; — k 2 repré- 

 sente la courbure totale. On peut, ainsi que je l'ai fait voir (loc. cit.), obtenir 

 au moyen de ces équations V intégralité des résultats connus relativement 

 aux surfaces dont on sait trouver toutes les déformations. 



» Je suis revenu, il y a quelque temps, sur cette méthode et j'ai étudié 

 les intégrales intermédiaires qu'on peut associer aux équations (I). 



» 1. Le cas où l'on obtient une intégrale en égalant à une fonction 

 arbitraire de « une fonction linéaire et homogène de u' x et de v' a , dont les 

 coefficients sont des fonctions de u et det', se ramène, par un changement 

 de coordonnées curvilignes, à celui où l'intégrale est de la forme 

 P(m, v)v' a = A(a). On reconnaît alors que l'élément linéaire considéré 

 appartient à l'un des deux types 



du 2 -+- 2udv 2 , du--h(u i + a 3 )dv 2 (a = const.) 



et l'on retrouve des résultats déjà obtenus par M. Darboux (loc. cit.). 

 » 2. Plus généralement, soit à chercher les intégrales de la forme 



(p(u,v, u' a , <4) = A(a). 



