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 » J'ai démontré qu'on peut toujours prendre pour cp un trinôme homo- 

 gène du second degré en u' a et v' a , dont les coefficients dépendent de u et 

 de v. Si ce trinôme est un carré parfait, on est ramené à l'intégrale 

 linéaire; sinon, on le réduit à la forme V(u,v) «â^'a» et l' on reconnaît que 

 l'élément linéaire considéré appartient à des surfaces du second degré. 

 Effectivement, si l'on rapporte une quadrique à ses génératrices recti- 

 lignes(w = const., v = const.) on constate que les équations (I) admettent 

 deux intégrales quadratiques (et deux seulement), savoir 



(II) u>' a ==A(a)û>(H,V), w^p=-B(p)o>(«,c), 



où A et B sont deux fonctions arbitraires de leurs arguments respectifs, et 

 w une fonction qui est égale à H 2 pour les paraboloïdes et à H 2 (m -+- f) 6 

 pour les quadriques à centre, si u ■+■ v est le dénominateur commun des 

 coordonnées a;, y, z. 



» 3. On peut faire divers usages de ces intégrales quadratiques. J'en ai 

 déduit que, pour les quadriques de révolution (et pour celles-là seulement) 

 toute fonction g de u et de v, qui ne dépend que de w, satisfait, en tant que 

 fonction de a. et de (3, à une équation du second ordre F (sâp» ff a> C P> 5 ) = °i 

 qui devient identique, pour le paraboloïde de révolution, à l'équation en H 

 de M. Darboux (Théorie des surfaces, t. III, p. 36g). 



» Pour les quadriques qui ne sont pas de révolution, je prouve que toute 

 fonction deu et de. c satisfait à deux équations du troisième ordre, tandis que 

 l'élimination d'une des fonctions u et v entre les équations (I) conduit, 

 dans le cas des surfaces quelconques, à une équation du quatrième ordre. 



» 4. Les intégrales (II) donnent lieu à d'autres généralisations. Voici 

 l'une des plus immédiates. Soit à chercher s'il existe une expression 



c = u™ Mp"/( a > fi, u, v) (m -+- n =j£ o) 



qui, considérée comme fonction de o. et (3 par l'intermédiaire de u et de v, 

 satisfasse à une équation du second ordre de la forme précitée F = o. Je 

 démontre qu'on peut toujours prendre o = ù' a u'^:<ù(u, e)et que a doit satis- 

 faire à l'équation 



àadfi ~ ° 0u % v dv 1 ' 



ce qui exige que u u , et co", soient des constantes. M. Servant, qui a obtenu 

 récemment cette équation (Bulletin de la Société mathématique, p. 232; 

 190 1), en a déduit une démonstration très élégante de résultats déjà connus, 

 notamment de ce fait que la déformation du paraboloïde général et des qua- 



