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o' (£,'") étant la valeur de la dérivée de o(x) pour une valeur de i' ; com- 

 prise entre x t et .r, + l .Il en résulte que, si l'équation (c) a des racines supé- 

 rieures à E, la différence o(x t ) — J/(.r,.) tend vers zéro eix t vers la plus 

 petite de ces racines lorsque i tend vers l'infini. Lorsque l'équation (i) n'a 

 pas de racine positive supérieure à E., .r, tend vers l'infini. 



» De même, la suite y„, r,, .... y,,. . .. où y est la racine positive de 

 l'équation 'Ij(x) — o(E) = o, y t celle de i/(x) — ç(y,_,) = o, est formée 

 de termes décroissants et qui convergent vers la racine positive de l'équa- 

 tion (i) immédiatement inférieure à E. Si l'équation (i) n'a pas déracine 

 inférieure à \, positive, on obtient encore une suite si la différence 

 ij'(o) — <p(£) est négative, et y t tend vers zéro. 



» La recherche des racines négatives d'une équation se ramenant à la 

 recherche des racines positives de celle qu'on obtient en changeant le 

 signe de l'inconnue dans la première, on a une méthode permettant d'avoir 

 toutes les racines réelles d'une équation. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le nombre des racines communes à plusieurs 

 équations. Note de M. G. Tzitzéica, présentée par M. Picard. 



« 1. A l'occasion des intéressantes Communications de M. Davidoglou 

 sur le nombre des racines communes à plusieurs équations, je demande la 

 permission de faire quelques remarques sur le même sujet. 



» Prenons d'abord le cas de deux équations 



f(x) = o, ?(•£) = o. 



Si l'on veut trouver le nombre des racines communes à ces équations, 

 comprises dans l'intervalle (a,b), on peut appliquer la méthode de 

 M. Picard (Traité d'Analyse, t. II, p. 193) au système 



f(x) = ô, ?(v) = o, 



en prenant pour contour C dans le plan xy le rectangle dont les sommets 

 sont les points A, (a -f- e-, a — s'), A 2 (a — î, a -+- î), B, (b -+- s.', b — e'), 

 B 2 (6 — i'. 6-t-e'); s' étant une quantité suffisamment petite, de manière 

 que pour les valeurs de x et 7 qui annulent/(.r) et <p(j) on ait x —y. 



» 2. On peut trouver de même le nombre des racines communes aux 

 équations 



f t (x) = o, /„(*) = o, .... f n (x) = o, 



