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» M. Picard a démontré que toute surface peut être ramenée, par une 

 transformation Irrationnelle, soit à une surface de l'espace à cinq dimen- 

 sions dépourvue de toute singularité, soit à une surface de l'espace ordi- 

 naire ne présentant que des singularités ordinaires, c'est-à-dire une courbe 

 double et des points triplanaires. 



» Nous sommes donc autorisés par là à nous restreindre au cas des sur- 

 faces à singularités ordinaires, ce qui est d'autant plus nécessaire que les 

 autres surfaces pourraient présenter des singularités telles que la variété V 

 correspondante présente elle-même un point singulier. Or les théorèmes 

 généraux de Y Analysis sitùs n'ont guère été démontrés que pour les variétés 

 sans point singulier et les définitions elles-mêmes deviendraient ambiguës, 

 à moins d'être complétées par de nouvelles conventions. 



» Cela posé, rappelons quelques-uns des résultats obtenus par M. Pi- 

 card. Donnons a y une valeur constante quelconque, l'équation (i) repré- 

 sentera une courbe algébrique/(a;, z) = o de genre/?; à celte courbe cor- 

 respondra une surface de Riemann S sur laquelle on pourra tracer ip 

 cycles distincts 



» Lorsque y variera, la surface de Riemann S et les cycles u varieront, 

 et quand y aura décrit un lacet autour de l'un des points singuliers 



pour lesquels le genre de la courbe /(a?, z) = o s'abaisse, les 2/? cycles w 

 se seront transformés en 2/; combinaisons linéaires (à coefficients entiers) 

 -de ces mêmes cycles <•>; ds auront subi une transformation linéaire T,. 

 L'ensemble de ces transformations T, forme un groupe dont M. Picard a 

 montré l'importance au point de vue qui nous occupe et que j'appellerai 

 groupe de Picard. 



» Il s'agit de former tous les cycles distincts de la variété V, tant à une 

 qu'à deux ou à trois dimensions. En ce qui concerne les cycles à une dimen- 

 sion, le problème a été entièrement résolu par M. Picard. Notre savant 

 confrère a montré que tous ces cycles peuvent être ramenés aux divers 

 cycles co d'une des surfaces S, mais que ces cycles w ne sont pas tous dis- 

 tincts; un quelconque de ces cycles est équivalent à son transformé par 

 l'une des transformations T,. Si donc on égale chacun des ip cycles o> à son 

 transformé par chacune des q transformations T,-, on obtiendra un système 

 de ipq équations linéaires entre les w, que j'appellerai le système (A). 



