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 sorte que l'on ait 



(2) St t -h £2 2 + • • • + S2 7 = P-\ -H û', -+-... + G' y , 



on engendrera un cycle de la façon suivante : si nous faisons décrire à y 

 un lacet autour de A,, en partant du point O et revenant au point O, le 

 cycle £2, engendrera une variété W, à deux dimensions qui ne sera pas 

 fermée, mais qui sera limitée par la position initiale et finale du cycle, 

 c'est-à-dire par le cycle &° de la surface de Riemann correspondant au 

 point O et par son transformé Q^ . Alors si l'on réunit toutes les variétés W,-, 

 elles se raccorderont à cause de l'identité (2), et leur ensemble formera 

 un cycle à deux dimensions. 



» Tous ces cycles ne sont pas distincts. Soit U un cycle quelconque, 

 If, son transformé par T,, U 2 celui de U, parT 2 , U 3 celui de U 2 par T 3 , etc., 

 et enfin U ? = U le transformé de U ? _, par T ? . Si nous avons alors 



Û, = U -(-V ) , Q 2 = B t -hV 3 £2 y =U ? _, + V 7 



(V, étant un cycle quelconque inaltéré par la transformation T,) et, par 

 conséquent, 



Q\ = u l -hY t , iX = u 2 + v 2 , ..., a ? =u ? +v ?) 



le cycle à deux dimensions engendré par £2,, £2,, . . ., £2 y sera équivalent à 

 zéro. H n'y a pas d' autre cycle équivalent à zéro. Donc, quand on aura réduit 

 par ce moyen le nombre des cycles à deux dimensions, tous ceux qui 

 resteront seront distincls. 



» J'ignore si tous les cycles de la seconde sorte sont des combinaisons 

 de ceux qui correspondraient, d'après M. Picard, à une transformation 

 et à un cycle inaltéré par cette transformation. 



» Passons enfin aux cycles à trois dimensions. Soit £2 un cycle de 

 la surface S qui soit invariant par rapport au groupe de Picard, c'est- 

 à-dire inaltéré par toutes ses substitutions. Quand on donnera à y toutes 

 les valeurs possibles, ce cycle engendrera un cycle fermé à trois dimen- 

 sions. 



» Il n'y en aura d'ailleurs pas d'autre et tous les cycles ainsi obtenus 

 seront distincts. 



» On vérifie que, comme il convient, le nombre des cycles invariants 

 (et par conséquent celui du nombre des cycles à trois dimensions de V) 

 est égal au nombre des solutions distinctes du système (A) (et par consé- 

 quent à celui des cycles à une dimension de V). 



