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 ouverte avec le bord 



et la valeur de l'intégrale double correspondant à cette surface ouverte est 



m, f Q i (y)dy. 



De la même façon, les divers autres termes de la somme (i) correspon- 

 dront à des surfaces avec les bords 



m.,T,, ..., m s Y s , 



r ( ayant la signification analogue à r,, quand /> t remplace l>,. 



» Nous avons donc s surfaces ouvertes avec les s bords indiqués. D'autre 

 part, pour y arbitraire, les s contours 



limitent sur la surface de Riemann /une portion P de la surface, d'après 

 l'identité (2). Considérons en particulier la portion P a sur la surface qui 

 correspond à y = a : cette portion P a , avec les s surfaces ouvertes consi- 

 dérées ci-dessus, forme une surface fermée qui est un cycle à deux dimen- 

 sions, et la valeur de l'intégrale double sur ce cycle est précisément 

 l'expression (1). 



» Ainsi donc, nous avons bien avec les N — ip quantités désignées par A 

 au § 4, N — 2.p périodes de l'intégrale double; ces combinaisons analy- 

 tiques remarquables, pouvant se prêter à une étude approfondie, ont été 

 pour moi le principal intérêt de ces recherches. 



» Quant à la question de savoir si toutes les quantités A peuvent s'expri- 

 mer à l'aide des périodes particulières que j'avais d'abord considérées, j'ai 

 cru longtemps avoir une démonstration rigoureuse de ce théorème que 

 toutes les périodes se ramèneraient à ces périodes particulières; mais, 

 quoique ce théorème reste pour moi très probable, j'y trouve maintenant 

 quelques difficultés que je ne cherche pas à lever, la question ayant en 

 réalité peu d'importance. » 



