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 Lorsque l'équation (i) n'a pas de racine positive inférieure à £, la suite 

 x , x t , . . . , Xi ne comprend qu'un nombre fini de termes. 



» De même, en remplaçant £ par y , l'équation nouvelle a une racine 

 supérieure à y , y,, et l'on obtient ainsi une suite y , y,, ..., y t de 

 nombres positifs croissants et convergeant vers la racine positive de l'équa- 

 tion (i) immédiatement supérieure à ; lorsque i tend vers l'infini. Si 

 l'équation (i) n'a pas de racine supérieure à \, y t tend vers l'infini. » 



ANALYSE INFINITÉSIMALE. — Sur le calcul par cheminement des intégrales 

 de certains systèmes différentiels. Note de M. Riquier, présentée par 

 M. Appell. 



« I. Considérons un système différentiel d'ordre quelconque où se 

 trouvent engagées, avec un nombre quelconque fie variables indépen- 

 dantes, x, y, ..., un nombre également quelconque de fonctions incon- 

 nues, u, v, ... ; et à chacune des quantités u, v, ... faisons correspondre 

 un entier quelconque (positif, nul ou négatif) que nous nommerons la 

 cote de cette quantité. Considérant ensuite une dérivée quelconque de 

 l'une des fonctions inconnues, nommons cote de la dérivée en question 

 l'entier obtenu en ajoutant à la cote de la fonction l'ordre total de la déri- 

 vée. Cela étant, nous supposerons tout d'abord que, moyennant un choix 

 convenable des cotes attribuées à u, v, . . ., le système différentiel proposé 

 remplit à la fois les deux conditions suivantes : i° il se trouve résolu par 

 rapport à certaines dérivées qui ne figurent, non plus que leurs propres 

 dérivées, dans aucun des seconds membres, et ces derniers sont, dans un 

 même domaine, tous développables par la série de Taylor; chaque second 

 membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités 

 (inconnues ou dérivées) dont la cote tombe au-dessous de celle du pre- 

 mier membre correspondant. 



» Les systèmes ainsi définis constituent un cas très particulier de ceux 

 que j'ai nommés orthonomes : il suffit, pour s'en rendre compte, d'attri- 

 buer à chacune des variables x, y, . . . une cote égale à i, en même temps 

 qu'on attribue aux diverses inconnues u, v, . . . les cotes respectives spéci- 

 fiées ci-dessus. En conséquence, tout système de cette espèce, s' il est passif, 

 est complètement intègrable; on peut d'ailleurs, comme je l'ai établi d'une 

 manière générale pour tout système complètement intègrable, fixer, par 

 la seule considération des premiers membres, l'économie des conditions 



C. R., 1901, 1' Semestre. (T. CXXXIII, N- 26.) l58 



