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 cune de termes tous de même signe; P', P", . . ., Q\ Q", . . . leurs dérivées 

 successives; P,, P',, . . ., P 2 ,P' 2 » ••• les valeurs de ces fonctions pour x = œ t , 

 x — x 2 . Choisissons P et Q de manière à avoir P, — Q,<o, P 2 — Q 2 >o, 

 et soient, pour abréger, x 2 — x,= Sx, P 2 — P, = &P, Q 2 — Q, = SQ. Si l'on 

 pose 



,. _ (Q,-P,)5^ (P.-QQqx 



{ ~') £ < _ SP-Q'.S^' £2_ P' 2 8a--oQ' 



les deux nombres positifs œ\ = x { -{- i,, x' 2 = x 2 - t 2 seront deux nouvelles 

 limites plus resserrées que x t et x 2 et comprenant les mêmes racines. S'il 

 n'existe qu'une racine, on en approchera autant qu'on voudra, par défaut 

 et par excès, en appliquant les formules (i) un nombre de fois suffisant à 

 partir des couples délimites successivement calculés; s'il existe plus d'une 

 racine, on approchera autant qu'on voudra des deux extrêmes. 



» Les formules (i), dont l'une se réduit d'ailleurs, si P ou Q est linéaire, 

 à la formule d'approximation de Newton, ont sur cette dernière l'avantage 

 d'être valables sans aucune restriction. 



» II. Même recherche, entre deux limites x\, x.,, qui donnent à /(x) le 

 même signe. — Supposons P, — Q, > o, P 2 — Q 2 > o. On obtiendra deux 

 limites plus resserrées en appliquant à x { et x., les corrections s, et — s, 

 données par les formules 



r _ (P,-Q,)8g _ (P,— Q.)8j? 



\*J C| — oQ-P; îx ' " 2 P',Jx — oQ 



» On approchera ainsi autant qu'on voudra des deux racines extrêmes 

 comprises dans l'intervalle x. 2 — x,, ou, si l'on arrive à deux limites con- 

 tradictoires entre elles ou situées en dehors de l'intervalle considéré, on 

 pourra affirmer qu'il n'y existe pas de racines. 



» III. Conditions pour qu'il puisse exister des racines dans l'intervalle 

 x 2 — x s du problème II. — On peut en écrire plusieurs où n'entrent que 

 les données relatives aux limites x { et x 2 . Voici celle qui me paraît la plus 

 remarquable : 



(p;+ q',)S*> 2 [p 2 - q, + nA^-q.x^-Q*)]- 



» Il faut que cette inégalité soit satisfaite (l'égalité ne suffirait pas) pour 

 qu'il puisse exister des racines entre a;, etx 2 ; et s'il n'en existe pas effecti- 

 vement, on pourra toujours, par les formules (2) ou en divisant l'inter- 

 valle en 2, 3, ... intervalles moindres, arriver à ce qu'elle cesse d'être 

 satisfaite. 



