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 croissent suffisamment vite avec a, on pouvait se demander s'il en était de 

 même de e et ses puissances, de?:, d'autres nombres encore. La réponse 

 est affirmative, et nous avons obtenu les résultats suivants : 



« I. Soit C un nombre algébrique ou non; tout, nombre peut se mettre sous 

 la forme 



T=T, + § :+ ...+ ^+... l 



Ç, étant une fonction algébrique quelconque de £, | a, |, . . ., | a, j, ... des en- 

 tiers < E(Ç) ; l étant donné, pour un mode de croissance suffisamment rapide de ■}, 



avec /; i°Y ne peut être algébrique; 2° si c Q = a , . .., c„= — , •• • (|a, | 



|tf„|, ... étant des entiers limités quelconques) Y ne peut être racine de 



Te,,/ = o, si — c/o& suffisamment vite avec n, quels que soient \a { \, . . ., 



Kl 



» II. Si Ç e^ un nombre quelconque algébrique ou non donné, aucune fonc- 

 tion algébrique de X, à coefficients entiers n'est racine de 



V a n „ 



2*T n x =° 



quand — crofr suffisamment vite avec n. 



» En particulier les méthodes de M. Hûrwitz pour e et ses puissances 

 rationnelles, de M. Hilbert pour % permettent de déterminer la limite infé- 

 rieure de ces modes de croissance. 



» Tout ce qui précède peut s'étendre aux équations Vc„a7 ra " = o, quand 

 gt„ croît suffisamment vite avec n, le premier membre convergeant pour 

 o'Scc'Si, ou aux équations \c a x r ' n = o dont le premier membre présente 



un point singulier essentiel à l'origine (c„ rationnel). 



« A titre d'exemple nous avons établi le résultat suivant : 



» Les puissances entières ou fractionnaires de e ne sont pas racines des 



équations 



a n étant un entier limité, nul ou non, dés que [* > 3. » 



