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GÉOMÉTRIE. — Sur le mouvement le plus général d'un corps solide qui pos- 

 sède deux degrés de liberté autour d'un point fixe. Note de M. Rexé de 

 Saussuke, présentée par M. H. Poincaré. 



« La position d'un corps solide ayant un point fixe peut être définie 

 par un point M et une droite D passant par M. Si l'on affecte la droite D 

 d'un sens indiqué par une flèche, la figure (MD) peut être considérée 

 comme un point dirigé. 



» Lorsqu'un point dirigé tourne autour d'un axe fixe, il décrit par défi- 

 nition une couronne : le cercle décrit par le point M est la base de la cou- 

 ronne. Il suffit de deux points dirigés pour déterminer une couronne. 



« Si le corps solide possède deux degrés de liberté autour du point O, 

 le point M décrit une sphère S et la droite D enveloppe une sphère con- 

 centrique S'. Soit (MD) une position particulière du corps solide; tous les 

 déplacements infiniment petits que peut subir !e corps sont des rotations 

 autour d'axes instantanés passant par le point O. D'ailleurs le lieu de ces 

 axes est un faisceau plan, car toutes ces rotations peuvent être considérées 

 comme des résultantes de deux d'entre elles. Si l'on fait subir au point 

 dirigé (MD) une rotation complète autour de chacune des droites de ce 

 faisceau, ce point dirigé décrira une série de couronnes dont l'ensemble 

 forme, par définition, un couronoide ; la sphère S est la base et la sphère S' 

 la gorge du couronoide. 



» Le couronoide ainsi défini est tangent au mouvement du corps solide 

 (MD), puisqu'il a en commun avec ce mouvement tous les points dirigés 

 qui définissent les positions du corps solide dans le voisinage de la posi- 

 tion (MD). Lorsqu'un point dirigé (MD) engendre un couronoide, comme 

 il vient d'être dit, le point M décrit une série de cercles qui se recoupent 

 en un même point A symétrique de M par rapport au plan du faisceau des 

 axes de rotation; la droite D décrit une série d'hyperboloïdes de révolu- 

 tion, qui contiennent tous une même droite X, symétrique de D par rap- 

 port au plan du même faisceau. Nous dirons que le point A est le pôle et la 

 droite X Y axe du couronoide. 



» Le point dirigé (AX) définit complètement le couronoide, car la 

 sphère S passe par le point A, la sphère S' est tangente à X et les généra- 

 trices du couronoide doivent d'une part s'appuyer sur la droite X, d'autre 

 part être tangentes à la sphère S'. Tout plan passant par l'axe X coupe les 



