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 MM. Baubigxy, Emile Borel, Guiciiard, Halphen, Matruciiot et 

 Moi.liard, Maupas, Poxsot, Simon, Villatte adressent des remercîments 

 à l'Académie pour les distinclions accordées à leurs Travaux. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de factorielles . 

 Note de M. IYiels JVielsen, présentée par M. Picard. 



« Les séries de factorielles, savoir les séries de la forme 



où les coefficients b n sont indépendants de x, attendent encore une théorie 

 rigoureuse et développée. En effet, on ne connaît jusqu'ici ni une méthode 

 générale pour développer en série de la forme (i) une fonction donnée, 

 ni les conditions nécessaires et suffisantes qui doivent être remplies par 

 une fonction pour rendre possible le développement susdit. 



» Or, une recherche facile de la série H(x) montre immédiatement que 

 la limite de son cliamp de convergence absolue est une ligne droite perpen- 

 diculaire à l'axe des nombres réels. De plus, si tous les termes de £2(;r) 

 sont finis, la série £2 (x') est certainement absolument convergente, pourvu 

 que 1à(x' — x) soit plus grand que l'unité. La lettre gothique H désigne 

 toujours la partie réelle. Dans son champ de convergence absolue Q(x) ne 

 peut pas avoir d'autres points singuliers finis ou infinis que des pôles 

 simples aux points 



x = o, — i , — 2, — 3, .... 



situés dans le champ susdit. 



» Ces propriétés de ii (x) connues, il est très facile de voir que la série 

 de puissances 



( 2 ) 9 (i-z) = b +b t z-t~b 2 z* -+-...; & n= (=-lL" ? <«>(,) 



a son rayon de convergence égal à un au moins. De plus, on aura généra- 

 lement 



(3) 0<*)=/ 9<*)* 



dz. 



