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 formule qui est valable, pourvu que le scond membre ait un sens. Quant 

 au reste de la série il(oc), il se présente sous cette forme 



x(x-hi)...(as + s) 



(4) = ti); fo-(:i:-» ( / : 



(_I)»+J 



x(x + l). . .(x ■ 



f o"'''-< ] (z)z*-' 



?dz. 



expression qui est valable, pourvu que il(x) soit convergente pour la 

 valeur de x en question. 



» La démonstration des formules (3) et (4) peut être établie en multi- 

 pliant par (i — z) x ~* la série (2) et celle obtenue en différentiant n fois 

 par rapport à s ; intégrant ensuite de z = o à z = 1 ces deux séries terme à 

 terme, ce qui est permis parce que il (oc) est convergente, on trouve préci- 

 sément (3) et (4). 



» Cela posé, on peut démontrer ce théorème général : 



» Les seules fondions développables en série de faclorielles sont des intégrales 

 définies de la forme (3), où <p(s), la fonction génératrice de la série il (oc), 

 doit satisfaire aux conditions suivantes : 



» i° o(z) doit être holomorphe aux environs de z = 1, et le rayon de 

 convergence de la série de puissances (2) ne doit pas être plus petit 

 que l'unité. 



» 2 Le point z = o peut être point singulier de y(z), mais non essen- 

 tiel; au contraire, y(z) doit avoir des dérivées d'un ordre quelconque. De 

 plus, soit <p (/,, (+o) la première de ces dérivées qui deviendra infinie; il 

 doit être possible de déterminer un nombre réel 1, n'étant pas égal 

 à + 00, tel que 



(5) _lim| ^(.)^ l je sdo n %{x) >^ 



» 3° Si <p(i — z) a des points singuliers outre z = 1 dans la circonfé- 

 rence de son cercle de convergence, il doit être possible de déterminer 

 aussi un nombre réel V, n'étant pas égal à + ac, tel que 



(6) iL m J r( ;TL% H~, seion i nem <*>< v - 



