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» Nous désignerons toujours X et X' comme le premier et le second nombre 

 caractéristique de la fonction génératrice o( = ). 



» Les recherches directes relatives à la convergence de Si(x) montrent 

 clairement que ces conditions énoncées sont nécessaires. De plus, appli- 

 quant l'intégrale de Cauehy, on voit que l'équation (5) entraînera cette 

 autre 



<7) JL^Ir C'+iT+o h | -' selon T« *(*><*'• 



et pourvu queo<z < i. Cela posé, une intégration par parties démontrera 

 facilement que les conditions nécessaires susdites sont suffisantes aussi; 

 de plus, on obtient cette autre proposition : 



» La série de faclorielles fî(a?) ainsi obtenue est convergente ou divergente 

 selon que Tà(x) est plus grand ou non que \ et V ; c'est-à-dire que la limite 

 du champ de convergence, absolue ou non, de £l(x) est une ligne droite per- 

 pendiculaire à l'axe des nombres réels. 



» Transformons maintenant l'intégrale (3) en posant z = e~ c ; nous 

 aurons 



(8) a(»)=jfV(0«- tt *. /(<) = ?(0. 



ce qui donnera 



(9) (_,)v>(.)= ^ K/"- s (o), 



où les C sont les nombres entiers définis par cette identité 



x(x + i)...(!T + n-i)= C° tt x a + C^x"- ' + ... + C n n { x; 



c'est-à-dire que notre théorème général vérifie le postulat de M. Schlo- 

 milch, savoir que l'origine des séries de faclorielles doit être à chercher 

 dans des intégrales définies de la forme (8). 



» Or, notre théorème général connu, on déduira sur-le-champ tous les 

 résultats connus relatifs aux séries de factorielles et plusieurs autres ina- 

 perçus jusqu'ici, comme nous le démontrerons dans une nouvelle Note. » 



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