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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires qui 

 sont de la même espèce. Note de M. Alfrkd Lœwt, présentée par 

 M. Picard. 



« Soient 



< ^ -+-/>. (* ) £7^ - • • ■ -/'•■' r » v = °. 



• -+- ( JnX x ) z — ° ( rt i = ra )< 



deux équations différentielles linéaires et homogènes à coefficients ration- 

 nels; nous supposons que la transformation 



z — a t {x)y + «<{*)-;- + • ■ ■ : - ««-• K x )d^=ï 



fasse passer des intégrales de l'équation (1) aux intégrales de l'équation (2), 

 les coefficients a (x), a t (x), ..., a n _,(x) étant des fonctions rationnelles 

 de la variable x. On dit que l'équation (2) est de la même espèce que (1). 

 Si n = n t , le rapport est réciproque, l'équation (1) est aussi de la même 

 espèce que (2). Si n,<n, l'équation (1) est réductible; clans ce cas il 

 existe toujours une équation différentielle linéaire et homogène à coeffi- 

 cients rationnels dont (1) admet toutes les intégrales. 



» I. Cela posé, nous désignons par y„ y,, . . .,y n un système fonda- 

 mental d'intégrales de l'équation (1) et nous formons les fonctions 



\ dx* I dx* dx x v 



» Ces fonctions sont les intégrales d'une équation différentielle linéaire 



et homogène à coefficients rationnels H a = o, dont l'ordre est £ 



» Nous considérons l'infinité d'équations 



H =-.o, H, = o, H 2 =o, 



qui correspondent à toutes les valeurs possibles de a = o, 1, 2 



» L'une quelconque de ces équations est toujours de la même espèce 



que les diverses équations de la suite infinie qui sont de l'ordre 



