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 et homogène à coefficients rationnels G a p=o. Sur l'équation G a p : 

 qui est de l'ordre < - et qui a les — fonctions 



dx« dx? dx* dx? 



(*^P). 



pour intégrales, on a appelé l'attention des analystes déjà à plusieurs 

 reprises; d'après la terminologie de M. Schlesinger, l'équation G œ p = o est 

 une équation associée à l'équation (i). Si l'on connaît un système fon- 

 damental d'intégrales de H a p=o et de même de G a p=o, on a intégré 

 complètement L a p = o. 



» Si l'équation (i) et son adjointe de Lagrange 



-^~Fi , ,; , -+- , „ ; ... — (— i)"p a z = o 



dx" dx"—* dx"-' x ' '" 



sont de la même espèce, il y a toujours dans la suite doublement 

 infinie L a p= o des équations qui ont une intégrale rationnelle. 



» Pour que l'équation (i) et son adjointe de Lagrange soient de la 

 même espèce, il est nécessaire que chaque équation L a p = o d'un ordre n 2 

 ait une intégrale rationnelle. 



» Si l'une quelconque des équations L a p = o est d'ordre n 2 et a une inté- 

 grale rationnelle, l'équation (i) et son adjointe de Lagrange sont de la 

 même espèce, ou l'équation (i) est réductible et une équation, dont toutes 

 les intégrales sont aussi des intégrales de l'équation (i), est de la même 

 espèce que l'adjointe de Lagrange de l'équation (i). 



» En général, c'est-à-dire si l'équation (i) est prise arbitrairement, 

 chaque équation L a p= o est d'ordre n 2 et non d'un ordre inférieur; car 

 s'il n'y a pas une relation linéaire et homogène à coefficients constants 

 entre les n 2 produits yf ] yf\ l'équation L a j3— o est nécessairement 

 d'ordre n 2 . La formation de l'équation L a 3=o est simple; de là résulte 

 une condition nécessaire et suffisante pour les équations différentielles 

 linéaires et homogènes, dont les intégrales satisfont à une telle relation. Si 

 l'on adjoint, dans le cas d'une équation générale (i), au domaine de ratio- 

 nalité une fonction quelconque de x satisfaisant à une équation quel- 

 conque de la suite L a p= o, après l'adjonction l'équation (i) et son adjointe 

 de Lagrange sont de la même espèce, ou l'équation (i) devient réductible 

 et, dans le domaine de rationalité plus étendu, une équation linéaire et 

 homogène dont toutes les intégrales satisfont à l'équation (i) est de la 

 même espèce que l'adjointe de Lagrange de l'équation (i). » 



