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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Quelques théorèmes nouveaux sur les fonctions 

 entières. Note de M. Erxst Lindelof, présentée par M. Picard. 



« En étudiant la théorie des fonctions entières, j'ai été conduit à certains 

 résultats nouveaux dont je signalerai ici quelques-uns, réservant l'expo- 

 sition complète pour un Mémoire qui va paraître dans les Actes de la So- 

 ciété des Sciences de Finlande. 



» 1 . Soient f(x) une fonction entière de genre fini, M (r) le maximum de 

 son module sur le cercle | x | = r, et a,, eu,..., a n , ... ses zéros, rangés par 

 ordre de modules croissants. Une question fondamentale de la théorie qui 

 nous occupe concerne la relation entre l'ordre de grandeur deM(r) et la 

 densité des zéros a; dans cette voie, nous avons obtenu le théorème 

 suivant, qui sert à préciser notablement les résultats de MM. Hadamard et 

 Borel : 



» Soient p un nombre positif non entier et a,, oc.,, .. ., x^des nombres réels 

 quelconques ; si, quelque petit que soit le nombre positif 'e, les conditions 



M(r) <T e' f l ° s ''""--- llog(,_1, '' ) "* _,(log(,, '" ) '* ,+ ' 

 et 



M(V) "> e ''S'( lo s' - )''>...(iog< v - l >o«»-,(iog(".'o''v-' 



sont vérifiées, la première à partir d'une valeur finie de r, et la seconde pour- 

 une infinité de valeurs r croissant au delà de toute limite, on aura, quelque 

 petit que soit i, 



|a„|>[«log/i)-....(log(-')«)-,-.(logMn)- a -- E J^ 



à partir d'un certain indice n, et, d'autre part, 



\a„\<[n lo ë n)-*....(log<y->'nr<-.{\o£<>n)-^]ï 



pour une infinité de valeurs n. 



» Si les conditions imposées à M(>) sont vérifiées toutes les deux à partir 

 d'une valeur finie de r, la dernière inégalité subsistera, comme V avant- 

 dernière, pour toutes les valeurs n dépassant une certaine limite. 



» 2. Étant donnée une série 



C u -h C f X -h C 2 X-^r. ..+ C, l X a -h.. . 



définissant une fonction entière de genre fini f(x), on sait, d'après les 



