( 1280 ) 

 recherches de M. Poincaré, qu'il existe un nombre p (d'ailleurs le môme 



qu'au n° 1) tel qu'on ait y/\/q a \ < (~) P our " suffisamment grand, 



et V '\ c n\ > (-) po» r une infinité de valeurs n, et cela quelque petit 

 qu'on ait donné s. Inversement, si ces dernières conditions sont vérifiées, 

 M. Hadamard a démontré que le genre de la fonction f(x) est fini et égal 

 au nombre entier qui précède immédiatement le nombre p, dans le cas où 

 p n'est pas un entier, mais que, si p est un entier, il y a doute relativement 

 au genre de/(.r), qui peut être égal à p ou à p — i, suivant les cas. Toute- 

 fois, on est assuré qu'il est égal à p, si l'on n'a pas 



i _ 

 (1) lim/i? v 'jc„j = o. 



» Nous avons complété les résultats relatifs au cas où p est un nombre 

 entier, en démontrant la proposition suivante : 



» Si la condition ( ï ) est vérifiée, le genre de /(ce) est égal à p - i toutes les 



l'ois que la série } j ! — j converge, ce qui anra lieu par exemple dans les cas où 



l'on peut trouver un entier v et un nombre et ~^> ï tels qu'on ait, pour n suffi- 

 samment grand. 



v / Tc~ï<[/j !ogn...log tv -"n(log (v, /i) e }" 7 \ 



» 3. L'origine des difficultés qu'on rencontre dans les cas où p est un 

 nombre entier est mise en évidence par les formules asymptotiques que la 

 théorie de Caurhy nous a fournies pour certains produits infinis, et que 

 nous appliquerons ici à quelques exemples très particuliers. 



» L'argument de la variable complexe x gardant une valeur fixe quel- 

 conque comprise entre — t. et + -, on a ces formules 



0) n^ 1 " 1- -t) = e P (pour:<i> 



\ [«(Jog«)«]P/ 



cl 



<■ ?> ) II ( ' ! - nTlkn^ : e ^ "^ ( |,OU1 ' " > ,} ' 



e(a^) désignant une fonction quelconque tendant vers o lorsque \x\ tend 

 vers oo. 



