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o En voici une première conséquence curieuse. Considérons la fonc- 

 tion du genre zéro : 



a) A(..)=n(-+^,^)' 



en supposant i < o. < 2, et formons l'expression f(x) + /( — x). C'est 



une fonction de x 2 que nous désignerons par y(x' 2 ). Soient b,, b.,, 



b n , ... les zéros de la fonction y(x) et M(r) le maximum de son module 

 sur le cercle \x\ = r. De la formule (3) nous pouvons conclure 



M(r) = e ""' |l0 ^"~' I Lim«(r) = oJ, 



et, par suite, le théorème du n° 1 nous donne, quelque petit que soit. 1, 

 [n(logn)— - ]»< \b„\< \n(ïognf-^Y 



pour n suffisamment erand ; d'où il suit nue la série y ,_! diverge. 



Comme les zéros de la fonctionna;) +/(— x) sont respective -eut égaux 

 à ± \Jb,, ± y^.,, ,. ., nous arrivons donc à cette conclusion : 



» Bien que les fondions /(x) et f{— x) soient de genre o, leur somme 

 /"(.r) + /(— a-) est du genre 1 . 



» En développant en série la fonction (4). on trouve 



ni— e i-+-e(/i) r| . , . -, 



\C n = r . ~4 [lllil t(n) = O , 



c„ désignant le coefficient de a?". Or, il existe des fonctions de genre 1 dont 

 les coefficients obéissent à cette même formule asymptotique, par exemple 

 la fonction (1 + x) [/(x) +/(— x)]. On voit donc que, dans certains cas, 

 le genre d'une fonction entière définie par une série donnée dépend, non pas 

 de l'ordre de grandeur des coefficients de cette série, mais de leurs propriétés 

 analytiques. 



» Il s'ensuit encore que certains problèmes relatifs aux fonctions en- 

 tières, dont on avait en vain cherché la solution, échappent complètement 

 aux considérations où n'intervient que l'ordre de grandeur des coefficients 

 ou du module maximum M(/). Telles sont les questions de savoir si, f(x) 

 étant une fonction de genre p, il en est toujours de même de la dérivée 

 f'(x), ou bien de la fonction f{x) augmentée d'un polynôme. Enfin nos 

 formules asymptotiques permettent de préciser l'influence qu'exercent 

 sur la croissance d'une fonction entière les arguments de ses zéros, ques- 

 tion restée obscure jusqu'ici. » 



