( 1282 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les invariants intégraux et les paramètres 

 différentiels. Note de M. Alf. Guldberg, présentée par M. Painlevé. 



« Considérons un groupe continu (G) des deux variables x et y, et soit 



J = CçiÇsc, y, y, y" y'")dx 



un invariant intégral du groupe (G), c'est-à-dire que la variation 



: dx 



I/o. 



de l'intégrale est nulle pour toutes les transformations infinitésimales du 

 groupe (G). D'après la théorie de Sophus Lie, il faut et il suffit, pour que 

 J soit un invariant intégral, que Q. soit une solution des équations aux déri- 

 vées partielles linéaires et homogènes ( ' ) 



w '"/-<S + £/)& = ». 



où U f=l-/- -\-f\-r- estlesvmbole général des transformations infinité- 

 ■' ' ax dy • c 



simales du groupe (G) et IP'/désigne la transformation infinitésimale U/ 

 n fois prolongée. 



» Si l'on connaît un invariant intégral du groupe {G), on connaît en même 

 temps un paramétre différentiel de G. 



» En effet, cherchons un paramètre différentiel du groupe (G), c'est- 

 à-dire une fonction v>(x, y, y', y", . . ., <p, <p') de x et y, des coefficients 

 différentiels de y, et d'une fonction <p et <p', telle que, si ,<p est un invariant 

 différentiel de G, w soit aussi un invariant différentiel de G. 



» Nous aurons 



^ = fot x + £*y + £*y + .:. + £** + £*,', 



dx dy " dy' - 0^ ■ o<s T 



où Scp'= — o ——, et où Su est nul, quand So est nul, pour toutes les trans- 

 formations infinitésimales du groupe G. 



» Mais ces conditions mènent aux équations (A) quand on y remplace iî 

 parc'. 



(') Sophus Lie, Leipziger Berichte, p. 35o; 1897. 



