PREMIÈRE PARTIE. 



§ I. 



SUR LA SERIE DE GUDERMANN. 



1. Depuis que Binet ( + ) et Cauchy (**) ont mis le logarithme de la fonc- 

 tion r (,u) sous la forme suivante : 



(I) I.r((i)==-1.2ir-t- (p— .jj) h * — /*■*■ «(f)i 



dans laquelle 1. désigne le logarithme népérien, et w(V) l'intégrale définie 



/>- / \ 1 1 \ e /" , 



la fonction w(^) a été développée de bien des manières en séries conver- 

 gentes. Parmi les formules obtenues par les géomètres, Tune des plus célè- 

 bres est celle de Gudermann (***). Je me propose de montrer ici que la 



(*) Journal de l'École polytechnique, 27" ,e cah., p. 2-43. 



(") Exercices d'analyse et de physique mathématique, t. II, p. 386. . 



("*) Journal de Crelle, t. XXIX, p. 209. 



