6 RECHERCHES SUR LE DEVELOPPEMENT 



propriété de la fonction 5j(//.) de s'évanouir pour f*=oo } propriété qui se voit 

 à la simple inspection de l'équation (2), étant combinée avec la relation 

 fondamentale 



W r(M + i) = i*r(f*), 



suffît pour conduire très-simplement à la série de Gudermann avec l'expres- 

 sion du reste complémentaire. 



On tire, en effet, de la relation précédente 



l. r(f* + i) = l.r(a) -+- 1. fi, 



et, en remplaçant 1. r(^ + 1 ), I. r(j«) par leurs valeurs déduites de la for- 

 mule (1), 



*(f0-»(p + 4)='(p + ^)l.(i + -)-!• 

 Changeons p en p -f k, k désignant un nombre entier quelconque; il vient 



v[fi -f- k) — îr(fi + k -f- i)= U -+- k ■+- - j I. N -J — 1, 



puis, si nous faisons successivement k = 0, 1, 2, ..., n et ajoutons membre 

 à membre, 





Wc + l)l. (l -h- 



n(fi -t- « H- I). 



Lorsque n croit indéfiniment, sj(/k + n + 1) a pour limite zéro, d'après 

 l'observation faite ci-dessus ; donc la série est convergente et l'on a 



(3) *M = 2 



1 



à)-} 



ce qui est la formule de Gudermann (*). 



Il suit de la démonstration précédente que le reste, après le n'" e terme, est 



./ le* — 1 :r 2/ or 



(*) On peut consulter, sur la série de Gudermann, deux notes de MM. Serrct et 0. Bonnet, 

 Comptes rendus de l'Académie des sciences , t. L, pp. 662 et 862. 



