DE LA FONCTION r. 43 



Nous remarquons, en premier lieu, que, suivant une observation déjà 

 faite par Cauchy, en vertu de l'équation (4) du § I, toute propriété de la 

 fonction r (^) donne lieu à une propriété correspondante de la fonction 5 (^), 

 et, par suite, de l'intégrale définie qui figure dans l'équation ci-dessus. Nous 

 avons donc là un principe qui nous conduira, très-simplement, à la déter- 

 mination de plusieurs intégrales définies. 



Ainsi, l'on sait que r (-) = 5 \/k, et l'équation rappelée plus haut conduit 

 alors à celle-ci : 



•GK«-»»- 



1 



Donc, faisant ^ = 5 dans l'équation (Ij, et observant que le premier terme 

 du second membre se réduit ici à — ^ 1. 2, on trouvera 



/" sinx — x cosx , 







intégrale définie déjà signalée par Bidone (Mémoires de Turin, 1812). 

 De même, l'équation obtenue dans le § I, 



(^)- n (^+I) = ^ + ^l. (l +!)_!, 



lorsqu'on y remplace s (^), ù (^ -f- 1 ) par leurs valeurs tirées de l'équation (1 ), 

 en observant que l'on a 



sin (fi -+- IJ 7r = sin ^w, sin 2,ux — sin 2 (n -+- 1) x = — 2 sin x cos (2,u -t- 1) x, 



cette équation devient 



r" (\ \ dx I \\ I 



f I cot xl cos (2^ -+- l)xsin x — = 1 — I m- ■+- — I I. I I 



ou mieux 



/""sinx — xcosx / 1\ / 1 



(3). J ~ % cos (2 M -t- <l)x ( /x=l-(^H--jl. \\ +- 



'o 



