DE LA FONCTION r. 4o 



Posons successivement n = \, 2, 3, ..., n, dans cette équation, et ajou- 

 tons les résultats membre à membre. Nous trouverons, comme on le voit 

 sans peine, 



= n -+- I. 3 -4- 1. a -+- 1. 7 h -+- 1. (2;/ — 1) — » I. (2m -+- 1); 



ou encore, en remplaçant ù> [z 2 j par sa valeur, 



Jn-4--] = -(d —1.2)+ n + l.[l .5.5...(2n — 1)] — »l.(2n -+- I). 



La formule (1) donne une expression de û> [n + ') qui, égalée à la précé- 

 dente, conduit à l'équation 



/" sin x — x cosx sin (lu -+- I) a; , r ,, 

 — - '—dx= 2«-t-l)-4-21.[l.3.5...(2»i — 1 1 — 2nl.(2n+i . 

 x 2 sin x L 







Cette équation subsiste pour toute valeur entière et positive de n. 



Comme d'ailleurs on sait exprimer sin(2n + \)x en fonction des puis- 

 sances impaires de sin a;, on déduira facilement de l'équation (5) d'autres 

 intégrales définies nouvelles. 



Supposons, en premier lieu, n = 1 : il vient 



/" sin x — x cos x sin 3x 

 dx = 5 — 21. 3. 

 x 2 sin x 



a 



Mais on a 



sin ôx = 5 sin x — h sin 3 x; 



d'où, substituant et ayant égard à la relation (2), 



/»" sin x — x c 



,,;) ./ —r- 



COS X 1 



sin xdx =— 1. d. 

 -2 



De même, pour rc = 2, l'équation (5) devient 



■>" sin x — x cos x sin 5x 



f 



■ dx = % -h 21. 3 — 41.8. 



