DE LA FONCTION r. 



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qui associe les nombres bernoulliens, le nombre :: et le logarithme népérien 

 de 2 dans une même équation. 



Si l'on remplaçait, dans cette égalité, les nombres B„ par leurs expres- 

 sions sous forme d'intégrales définies, données par Plana, on retomberait, 

 après quelques transformations, sur une identité. 



10. L'intégration par partie, appliquée à la formule (4), conduit à d'autres 

 séries convergentes pour le développement de o(p). On a, en effet, 



zhh 



u. -+- k 



\v 



>^'-< "[(> 



fj. -+- 



z'dz 



et ainsi de suite. Le dernier terme tend vers zéro quand l'opération se pro- 

 longe indéfiniment, parce que z reste inférieur à ^. 

 On a donc, en série convergente, 



z*dz 



i 



\ 



i 



I V 5 . "2 3 (f*. -+- k) (fH-t + 1) 3 . 5 . 2 4 (m + kf ((* -+- k -+- 1 ) 2 



k -\ — — z- 

 2/ 



1 .-2 



I 



5 . '■> . 7 . 2* (f -+- A') 3 (u -+- k -t- I ) 3 



Substituons cette valeur de l'intégrale dans la formule 



»(p)=*2 



et observons que, la série qui représente l'intégrale définie restant conver- 

 gente lorsqu'on réduit ses différents termes à leurs valeurs absolues , il est 

 permis de grouper ensemble les termes de même rang. 



Tome XLI. 3 



