18 RECHERCHES SIR LE DÉVELOPPEMENT 



Nous aurons 



' 1 v» \ !_ V* \ 



| \ " '"' 3 . 'J' J A (y. -+- A) (^ -+-£-+- I ) 3.5. 'J 3 A {y. -+- A) 2 (p + t+l )' 



1-2 y i_ 1-2.5 y 1 ^_ 



Les termes étant alternativement positifs et négatifs, et toujours décrois- 

 sants, l'erreur commise lorsqu'on arrête la série en un point quelconque est 

 toujours moindre que le premier terme négligé. 



Cette série, comme toutes les précédentes, converge d'autant plus rapi- 

 dement que p. a une valeur plus grande. 



S IV. 



DÉVELOPPEMENT DE 5i(/u) (suite). 



11. On doit à Binet une série remarquable pour représenter la fonc- 

 tion w(^), série que Cauchy a retrouvée par une analyse savante, mais assez 

 pénible (**). Notre formule (4) du § III conduit avec une extrême facilité à 

 la série de Binet, ainsi qu'à l'expression du reste de cette série, ce qui 

 n'avait été obtenu jusqu'ici que pour des valeurs entières de p. 



On démontre sans peine l'identité suivante, due à Stirling (***) : 



a 



I— a) a(l— a)...(n-i— a) ot(1— a)...(n— a) 



M-f-a II ll{u+\) u(ll-h 1)(m-4-2) m(m-+- l)...(»-f-«) »(((-+- I )...(u + ll)(ll -ha) 



(*) D'après une formule que nous aurons l'occasion de citer plus loin, le premier terme de 

 cette suite se réduit à -J-. 



(") Binet, Journal de l'Ecole polytechnique, 27 me cahier, p. 226. — Cauchy, Mèm.ciiè, 

 p. 589. — Voy. encore, sur cette série de Binet : Limbourg, p. (io. — Genocchi, Bull, de l'Acad. 

 roy. de Belgique, t. XXII, 2 me partie, p. 392. — De Tilly, même collection, t. XXXV, 2 rae série, 

 p. 30. 



(***) Voy., par exemple, la noie de M. Genocchi, citée plus haut. 



