20 RECHERCHES SUR LE DÉVELOPPEMENT 



Mais on sait, d'autre part, par des relations dues à Stirling, que Ton a 



2i t„ t m /„ . /, . w ~ „ ' A 



£> (p -t- k) (p -+-/.'+ 1 ) p â (p + k) (* +t + l)(c+ * + 2) 2p (p + 1 : 



,éj (p + *) (p ■+- k + 1 ) ... (p -t- A- + «) nu (ft -h- 1 ) ... (p -t- h — I ) 



Il viendra donc 



(*)■ 



r ,r« An-*)! x _i\ dx . 



-W-i/«(*-^+j^ T) /*(«-«)(«-ï)« fa + -" 



I ° 



+ ■ /œ (1 — x) ... (m — 1 — x) [x — -) dx + R„, 







équation dans laquelle on a posé 



_<s° i r 



' " _ ,â(M + k) (p. H- /<:-+- l)...(p -i- k-i-n)J p + A + x 



La formule (1) est la série de Binet. L'équation (2) donne l'expression 

 du reste de la série après le n'" e terme. Sa limite supérieure, que nous allons 

 déterminer, fournira à la fois la preuve de la convergence de la série et la 

 limite de l'erreur commise lorsqu'on néglige le reste. 



12. Observons que, dans l'intégrale qui figure sous le signe 2, le fac- 

 teur (x — l) est négatif depuis x = jusqu'à x = \, positif depuis x = \ 

 jusqu'à x—i, les autres facteurs étant toujours positifs. Si donc nous par- 

 tageons l'intégrale en deux autres, ayant respectivement pour limites et -, 

 l et 1 , la première aura une valeur négative — A , la seconde une valeur 

 positive + B, et la valeur absolue de l'intégrale entière sera <A-fB. Or, 

 nous avons 



^- ''-^''"•' (H^'^/Mî-'K 



(•) Bertrand, Traité de calcul différentiel, p. 226. 



