22 RECHERCHES SUR LE DEVELOPPEMENT 



Donc 



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Or, lorsque n croît indéfiniment, 1. (n — 1) tend vers l'infini, donc R„ 

 tend vers zéro; la série est donc convergente pour toute valeur positive de p. 

 L'inégalité précédente fournit d'ailleurs une limite supérieure, facile à cal- 

 culer, de l'erreur que Ton commet en bornant la série de Binet à ses n pre- 

 miers termes. Il ne serait pas difficile d'obtenir des limites plus resserrées, 

 mais d'un calcul moins simple. On peut aussi mettre R„ sous la forme d'une 

 intégrale définie double. 



Nous ferons encore deux remarques au sujet de la série de Binet. Lorsque 

 fj. est un nombre entier, la formule (2) coïncide, comme on le voit sans 

 peine, avec celle que M. De Tillv a trouvée pour exprimer le reste R„ dans 

 ce cas particulier (*). 



En second lieu, la source d'où nous avons tiré la série de Binet, savoir 

 la formule (4) du paragraphe précédent, met en évidence la relation intime 

 qui existe entre cette série et celle de Gudermann. La première résulte, en 

 effet, tout simplement, du développement en série d'une intégrale définie 

 dont la seconde utilise l'expression sous forme finie, savoir 



Il s'ensuit que si, dans l'expression du reste R„, on effectue l'intégration 

 indiquée, on ne fera que reproduire avec des signes contraires les termes 

 déjà développés de la série, et revenir à l'intégrale primitive qui, étant rem- 

 placée par sa valeur sous forme finie, ramènera à la série de Gudermann. 

 Ceci s'accorde avec une observation faite par M. De Tilly (**). 



13. La série de Binet n'est qu'un cas particulier d'une formule beaucoup 



(*) Bulletins de l'Acad., loc. cit., p. 58. 

 (**) Page 59 du travail cité plus haut. 



