DE LA FONCTION r. 23 



plus générale, qui fournit une infinité de développements convergents pour 

 la fonction a(^) : sa démonstration, semblable à celle que nous avons donnée 

 plus haut, s'appuie sur quelques transformations assez curieuses. 



Désignons par (3 une quantité quelconque, par p un nombre entier arbi- 

 traire. La suite d'identités 



1 I 8 — a I 8 — a (S — a) (B -t- p — a) 

 = h = 1 h ! , etc., 



U-\-a. U + p («-+- 3)(K-Ha) M-+-8 (ll + f)(ll + S+/)) (M -H S) (M -t- 8 -t- p) (M -t- a) 



conduit évidemment à la formule suivante, plus générale que celle de Stirling : 



1 i s — « (e _ a )(e+p_ a ) 



= 1 ! 1 ! \- ... 



M -t- a M -t- p (m -h S) (m -t- S -t- p) (m -t- S) (m + S -+- p) (w -+- 6 -+- 2p) 



(6 — a)(S -t- p — a) ... (8 -+-/*— I p — a) (S — a) (S -H p — a) ... (8 -h «p — j.) 



(?« -+-S)(« -h 8-t-p) ... (u -t- 8-f- «p) (m + fi) (m -+-S-+- p) ... (m-8-+-np)(«-<-a) 



Remplaçons, dans celte égalité, u par ,u + k, « par a?; nous aurons le 

 développement de - — - k — -, et par suite, l'équation 



J la x r x "%+/c+8)( P +/c+s+p),/ (i3 X 'V2 '/'' 



x p -t- k + p 







1 



/(S— jc)(S-»-p-x)f- — xW-t--- 



(fH-ft-i-8)(p+*+S+p)([i-+-/:-+-8-H2p) 

 I 



(fi -+- /c -+- 8) (p -+- /i + 8-1- p) ... (f< -t- ft -(- 8 -i- rep) 



X /(S — x) (8 -+- p — x) ... (8 + «— 1 p — x) f- — x] dx 







1 



(a ■+- k -t- 8) (ix -+- /,' H- 3 -I- p) ... (/i -+- A -+- 3 -t- Hp) 



(8 — x) i 8 -t- p — x) ... (S -+- «p — x) I- — x 

 . dx. 



fi -t- k ■+- X 



Observons que, ici encore, 



f\ï~ x 



