48 RECHERCHES SUR LE DÉVELOPPEMENT 



Pour n = 3, elle donne 



. 2 

 sin - x 

 sin a: — xcosx 3 2 



dx = 2 -+- 1. 2 — - 1. 4, 



sin - 

 5 



ou, simplifications laites, 



/" sini — x cos x x I 

 cos - rfx = 1 — - I. 2. 







Ce résultat est compris dans une formule donnée plus haut. 

 Soit enfin w = 4. L'équation (9) devient 



. 3 



— dx = 5 + 1.(8.3) -il- (2«. 3») 



x" . x 



■ / sin - 



«/ 4 



Développons la valeur de sin Ç en fonction de sin J, et appliquons la 

 relation (2); nous aurons 



/" sin x — x cos x x 1 

 fci Sln 4 rfx = 8 , ' a - 







Nous ne pousserons pas plus loin ce genre d'applications de l'équation (1). 



25. La transformation de la fonction «(/*), opérée par l'équation (1), 

 conduit à un développement de cette fonction en série périodique, dévelop- 

 pement remarquable en ce que ses coefficients dépendent de transcendantes 

 bien connues. Posons 



/- I \ \ sin 2f*>rx 

 — — COt 7TX — dx = y (2p). 

 \nx I x 



o 



D'après une des formules de Fourier, nous aurons pour toute valeur de p. 

 comprise entre zéro et g, l'équation 



(12) 



o(2f*) = 2 2 s\n Zn/xK / ? (*)sin«i 



■( (/^. 



