50 RECHERCHES SUR LE DÉVELOPPEMENT 



et enfin 



/» sinx — x eus x ["S (ht) "1 



_— — <7.r = — + L (h-) COS Htt. 



»V — x s L «it J 



ci 



D'après cela , l'équation obtenue plus haut prend la forme 



COS MÎT S (mit) C(h-) 



I ç> (/} siii n-/ </( = 



«7T » TT 



et la formule (12) devient, conséquemment, 



f (2(*) = 5- ' -+~2 + C(»ir) - — ■ 



r. ~, n - „~, L ht J n 



La première série du second membre est facile à sommer. On sait , en 

 effet, que pour toute valeur de a comprise entre zéro et -, Ton a 



ii sin m sin 2u sin 5m "ë" sin nu cos «w 



2~ I "2 5 (Si » 



donc, pour toute valeur de p comprise entre zéro et g, %\m sera compris 

 entre zéro et n, et l'on aura 



2 "S" sin 2«fiir cos «rc 



> = 2p- 



- „=( » 



La valeur de y (^) deviendra donc 



? ( F ) = 2 F +-2 ^-CW — -— ' 

 - „ = | L n t J n 



et, en revenant à l'équation (1), on trouvera facilement 



1 'l'^Tr 8 *" 77 ) „ "| sin 2n<tt7r 

 (15) . . .■ n r( f *) = — -1. 2 sin fXTr m- p -h- 2 — — + C(n») Z 



L'équation (13) donnera donc le développement de s(/x) en série procé- 

 dant suivant les sinus des multiples de 2/wr, pour toute valeur de p coin- 



