52 RECHERCHES SUR LE DEVELOPPEMENT 



on mettra la fonction s (u) sous la forme 



Cette série convergente pour représenter la fonction a (y.) a de l'analogie 

 avec la série de Gudermann, mais elle présente divers inconvénients que n'a 

 pas cette dernière, et parait, en somme, moins commode. Nous ne nous y 

 arrêterons donc pas davantage. 



§ VIII. 



TRANSFORMATION DE LA FONCTION I. F (p). 



27. La formule (4) du paragraphe précédent conduit à une nouvelle 

 expression du logarithme de la fonction r (/,.), sous forme d'intégrale définie, 

 renfermant aussi des fonctions trigonométriques au lieu des exponentielles 

 que Ton y rencontre habituellement. 



Reprenons la formule 



1 I /"" I 1 \ sin -2fiX 



(1) a(f/.) = 1. 2 sin pn h — / I cot.rj dx. 



En désignant par s une quantité infiniment petite, on a 



/" / 1 \ sin Hmjc r>* sin -l^x n* sin -2fs.x cos x ils 

 col x I dx = ! — «je — / — ■ 

 \x I x J x 1 J sin x x 



Or, on voit sans peine que 



■ cos 2ftx 



/'" sin 2«x , sin 2«s /"> x cos S 



dx ; 



