DE LA FONCTION r. 55 



et, à cause de 



sin 2fx.r cos a; = sin (2« — I) x -+- cos 2/*x sin x, 



il viendra 



/» / 1 \ sin 2mx sin 2kï /"" cos 2/uac , /"" sin (2y. — I ) x , 

 coi ac dx = — -+- (2u — I / dx — / — ; il.i 

 \x I x e J x J sin x 



sin 2,ut S™ cos 2,ux — cos2.r /"T, sin (2{* — l)x 



/" cos 2«x — cos -2x , /"r sin(2« — IJaTl , 



— - -dx+J [(2,-,) cos 2,- -^-]d*. 



Faisons tendre s vers zéro : le premier terme du second membre a pour 

 limite %j.\ le second (2a — 1) 1. 1, et il vient 



/* 



1 / 1\ I /»-r sin(2Ac— l)xH</x 



1.2 sin un -t- tt — Lu l.^ + - / (2« — I cos 2x 



2 \ 2/ 2.7 L sin a; J x 



n 



Portons cette valeur de s (//) dans l'équation 



1. r 0«) = -l. 2tt -*- L — -J 1. p — ,« h- B (,i); 



nous aurons définitivement 



1 n 1 /■»* r sin (2» — i) x"i dx 

 2 . - l.r»=-I.-==+- / (2u-l)cos2x LÇ '- 



2 sin (*7t 2,/ L sin x J x 



Telle est la forme nouvelle donnée à I. r (p), et que nous voulions obtenir. 

 L'intégrale qui y figure est toujours supposée réduite à sa valeur princi- 

 pale (*). 



28. Cette expression de 1. r(p) ne semble pas au premier abord se prêter 

 facilement à l'étude des propriétés de la fonction r (p); elle présente même 



(*) Il est lion d'observer que l'on arrive directement h la formule (2) en appliquant à l'équa- 

 tion connue 



n 



la transformation par variable imaginaire que nous avons employée au n° 17. 



