U RECHERCHES SI K LE DEVELOPPEMENT 



l'inconvénient de se composer de deux termes qui, pour des valeurs entières 

 de y, sont tous deux inlinis. Néanmoins, il est très-curieux que cette équa- 

 liou conduise, de la manière la plus simple et la plus naturelle, aux pro- 

 priétés caractéristiques de la fonction r. 



Ainsi d'abord, si u. est < 4 , et si Pou change p en l - - p dans l'équa- 

 tion (2), on voit immédiatement que sin pu rie change pas, et que l'inté- 

 grale définie change de signe sans changer de valeur. On a donc 



I. r( ; ,) + l.r(i -f,.) = i. — 



\sin f&it 



d'où la relation connue 



r(c)r(l -p) = - 



En second lieu, remplaçons dans l'équation (2) p par p + 1, et obser- 

 vons que l'on a 



sin (p -+- 1) 7t = sin /xx , 

 sin ("2m. + !) x = sin (Ht* — I) .r -+- 2 sin x eus 2itx. 



Nous trouverons évidemment 



1 r I /""T sin(2,u — \)x ~\dx 

 1. r (u-h 1) = -].^=t-h- / (-.V— l)c(is-2.r- --t-2cos2x -2cos2^a;— > 



2 sin at 2,/ L sin ,t J x 



o 



ou , en vertu de la formule 



/" 



eos 2x — cos 2«x 



— dx = I. 



el de l'expression de I. r(p) donnée par la formule (2), 



l.r((* •+- i) = l. i%«) + 1. «; 

 d'où enfin 



r(^ +■ I) = m'' (aO, 



autre propriété fondamentale de la fonction V. 



