DE LA FONCTION r 



29. Passons au théorème de Gauss. La formule (2) j conduit par les 



simples propriétés des sinus. Remplaçons successivement, dans cette formule, 



ix par 



i 



IX , U -I i fi -\ 



II II 



1 II — I 



f- + " 



et ajoutons membre à membre toutes les équations obtenues. Il vient 



.[r W r(, + i)...r(^^J)]=il. 



I\ . / n— V 



sin un sm I ,tt -+ ] t... sin [ u. 4- - 



« 



« 



>/<u — l)cos2x ■ 



-\ / 2n-2\ H 

 sin(2fi — l)x+sin| 2|* — i-\ — ih hsirii 2u.-l -i ,x 



ni n / </j- 



sm x 



x 



Or, deux formules bien connues, dues à Euler (*), nous donnent 



l\ . / n-1 



SI 11 jJ.T . SIM 1/iH x ... sin Lu -I 



sm «,u- 



sin ('.'y - I) x -+- sin 2/* — 1 -+- 





2« — 2\ 

 sm | 2f* — I h — 



x 



. sin(2np - I)- 



1 \ sin x n 



= sm ['2/u. x 



ni . x 

 sin — 



« 



x 



sin - 



n 



Donc, substitution faite, il vient 



r (u) r ( p + - 



n — \\~\ I 2"-'t" 



il I 2 sin /(■/- 



(2/m — 1) eos 2x 



sin (in/* -- 1) - 



sin 



dx 



X 



(*) Introductio in analysin infinitorum, t. I, pp. 200 et 218 (Lugdu'ni, 1707). 



