:;<; RECHERCHES SUR LE DÉVELOPPEMENT 



Supposons d'abord l'intégrale prise à partir d'une limite infiniment petite «, 

 el observons que 



sin (iiiu — I ) - ^ S in(2n«— 1 ).r dx p' sin(2nfi— 1 )x r/x /" E sin(2Hf*-l ).r rfa; 



sin- 



u 



\dx /*°sin(2?î«— 1).rda: p T m\(ïn i ).— \)x<lx f"s\n(-2uu. 

 x ~J sin x i J sin x x J sin 



La dernière intégrale est une intégrale singulière dont la valeur, qui se 

 trouve immédiatement, est (2np - - 1) I. n. Donc, si Ton substitue dans 

 l'équation ci-dessus et que Ton fasse e= 0, on trouvera 



i. p(p)r(f. +■-]... r L + ^-) = -i.=L= 



v ' ' \ )(/ \ " ' ] sin "f* 



1 /"« T sin(2w» — t)aT|da! t 



+ _ / (-2/^— 1)cos2x ^ — h- 



2./ sinx J x 2 



2«h — I , 



U2r" ' L_—I.n. 



La somme des deux premiers termes du second membre est égale, d'après 

 (2), à I. r («p.); donc, passant des logarithmes aux nombres, on aura 



rw r (, + _) ... r [^— r ) =^rrr r M. 



équation qui constitue le beau théorème de Gauss. 



Ces démonstrations paraissent être en défaut lorsque l'un des arguments 

 de la fonction r est entier, ce qui rend illusoire la formule (2); mais il sullit 

 d'altérer infiniment peu cet argument pour que l'équation (2), et par suite 

 la démonstration, subsiste; et comme la fonction r («) est continue, il est 

 clair que la propriété à démontrer subsistera même pour ces valeurs excep- 

 tionnelles de l'argument. 



30. On prévoit que l'expression de I. r(u), donnée par l'équation (2), 

 doit conduire fort facilement à la série de M. Ruminer [formule (1 1) du § V]. 

 Nous nous bornerons à esquisser rapidement cette démonstration, tout à fait 

 analogue à celle de M. Schlômilch. 



