DE LA FONCTION r. 57 



L'argument ^ étant compris entre zéro et l'unité , deux formules connues, 

 qui résultent de la série de Fourier, donnent 



\ I "=" sin 2nfin sin (2(* — \ ) x _ 5ç" » sin 2wfw 



fi ~~I = *Si ^~~ "2 sin x n £i nV— x* ' 



De là on tire sans peine 



M S 7T" — x"\ f/x 



(4)/ (,--)«» *r- -A__ L^ |__/ 



-cos2x- 



tt 2 îr 2 / x 



La valeur principale de l'intégrale sous le signe 2 s'obtient en remplaçant 

 d'abord la limite inférieure zéro par un infiniment petit s. On a 



/=*cos2x % /"" «V 2 tfx n'idx xdx \ 



x ,/ «V— x a x y \x n-n- — xV 



d'où, en faisant tendre £ vers zéro, 



/** / m 2 7t 2 \ </jr 







Substituant dans l'équation (4), et portant la valeur de l'intégrale qui 

 figure au premier membre de (4.) dans l'équation (2), on obtient 



1 7T I •=• C -+- 1. 2»w . n 

 l.r (<*)=-[. h-> sin2nf«7r, 



'2 sin u.TT jt ~, « 



ce qui est la série de M. Ruminer. 



31. Nous terminerons ce travail, consacré aux transformations de la fonc- 

 tion I. r (//.), en faisant connaître une nouvelle expression de la dérivée de 

 cette fonction. 



Considérons la formule de Dirichlet : 



d.l.r(ft) r" I e " e " y ' \ d 



/" le~' e~ 



Tome \LI. 8 



