38 RECHERCHES SLR LE DÉVELOPPEMENT 



et posons, dans cette formule, // = 1, nous rappelant que le premier membre 

 est égal alors à — C. Nous aurons 







et, en soustrayant membre à membre, 



/■ e~ x — e ->*' f 



1 — e J 



o 



>^* e (y-i>» g-iy-'i-r 



1 = 2/ 



( JU li- — ( </ — i ) - 



r/.I. r(a) s*~ e -* — e -l** p- e s — g É * _ ,„.:. 



'+-C=/ dx=1 e -'/.>. 



OU 



' M - r( " ) • C = 2/ ^ e-"*». 



fl/A 



O 



Or, d'après une formule bien connue (*), qui se déduit fort facilement 

 des séries de Fourier, on a pour toute valeur de p comprise entre zéro et 1 , 

 et pour des valeurs quelconques de x, 



e (p~t)x — e -(/t-i)i /sin«7r 2sin2un 5sin3«ir \ "-S" » sin «amt 



=— 2«| — -H — -*- — -— — -»- — = — 2tt\ 



.£=i w 2 ""' ■+• a ' 2 



Substituant dans l'intégrale ci-dessus, nous obtiendrons 



^i+C = — 4tt / e-'"f/x^ • — — *--= — 4w> wsinnpr/ -r-r— 



Cette formule, où l'on voit reparaître dans le développement de * " ; une 

 transcendante déjà rencontrée dans le développement de la fonction c(p), 

 peut conduire à des relations assez curieuses. Nous nous bornerons à signaler 

 la suivante. 



Posons, dans l'intégrale, x = n-z; il viendra 



C = — 4 N 1 sin nftT / — 

 n=i . / 



dfi 

 (*) Voy., par exemple, Catalan, Traite élémentaire des séries, p. 112. 



