DE LA FONCTION T. 7 



2. La série de Gudermann conduit à une expression de la fonction r(/*) 

 sous forme d'un produit infini, expression de laquelle il est facile de tirer 

 celle que Gauss avait adoptée comme définition de cette fonction. 



On reconnaît d'abord sans peine que 



2 U ■*■ k + i) [1. [p. + k + 1)- 1. (p + A-)] = L + I) [1. (^ + n + 1) - ]. fi 



+ « !• (p + « + I ) — ^ '• 'f 1 + ^ ' 



d'où 



u (p) = — f fi -+- -j I. /b -4- Uni. U -+- n + - j 1. (f- -+• « + ' ) — (« + I) — 2 '■((*-*- *) ' 



la limite se rapportant à n indéfiniment croissant. 

 Mais comme l'on a 



/ i \ / ' i \ / i W p ■+- ' \ . / f ■+- ' \ 



fi H- « .+-] I.(^i -4- H -+- 1) ^ (^ -+- H -4- - J 1.» -4- I," +--I 1. I 1 H 1 -H » 1. M H J, 



et que, dans le second membre de cette équation, le deuxième terme et le 

 troisième ont respectivement pour limites zéro et p -f- 1 , la valeur de ïs(^) 

 se transforme comme il suit : 



B (ft) = — (p -4- -J 1. p. ■+■ fi -+- Km. (ft -+- n -+- -J I. /j — n — ^ '• (f* + '0 h 



et la formule (1) devient 



I. r(ft)==- I. 2jt — 1. fi -f- Uni. 



4 



(y. -4- 1) (u. -4- 2) .... (fi -+- ») 



Passant des logaritbmes aux nombres, on a enfin 



r(u.) = \/"2irlim. — — ' (/<»?. m = »). 



F- (,"• -4- 1) (f- H" ") 



3. L'équation (4) est bien facile à établir, la formule de Stirling étant 



