DE LA FONCTION r. 9 



et nous retrouvons ici l'expression de r(f*) sous forme de produit infini dont 

 Gauss a fait un usage si remarquable. 



Je ne pense pas que ces relations si simples, entre l'équation r(p -f- l)=^r(/*), 

 la série de Gudermann, la formule de Stirling et celle de Gauss, aient été 

 signalées jusqu'ici , non plus que la remarque suivante : 



D'après l'équation (4.), on a, pour de très-grandes valeurs de n, quel que 



soit y., 



i'+ n+ \ _„ 



tu. (^ -4- 1) ...(m •+• n) = V%z- 



Cette relation, plus générale que celle de Stirling, permettra donc d'éva- 

 luer par approximation le produit ^(^ -f- 1) (p -f- n), au moyen de la 



transcendante r(p), dont on a des tables. Ainsi, pour p=j, on aura r (| ) = |/tt, 

 et l'égalité précédente nous donnera, réductions faites, 



1 .3. 5 ...{-2n + l) = l/2(2n)" + 'e-", 

 » étant un nombre entier très-grand. 



§ H. 



SUR LA CONSTANTE d'eULER. 



5. Des formules 



r(u)=/'>-'p-'(/x, r»=/'>- , e- I l. xdx, 



b b 



on déduit, en posant /* = !, 



v(\) L </f« _U, / 

 ou, C désignant la constante d'Euler, 



— C = f e~' I. xdx. 



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Tome XLI. 



