10 RECHERCHES SUR LE DEVELOPPEMENT 



Mais on a 



/' /" e * dx 

 e~' 1. xdx = — e - " \. x + / 



et par suite, s désignant toujours une quantité positive et infiniment petite, 



**">-* dx 



I e" 1. xdx = e E 1. £ -f- / 



Comme d'ailleurs (e £ — 1)1. s a pour limite zéro, on peut remplacer 

 e~ E \. e par Le, et écrire 



(I) — C = lim. ( I — — -+- le), (/(»(.£ = ()). 



Cette formule, qui justifie celle que Bidone a donnée dans les Mémoires 

 de Turin pour 1812, se tire aussi très-facilement de l'expression de ' ' j 

 trouvée par Dirichlet. 



Si, a étant une constante positive, l'on remplace dans l'équation (l)e par œ, 

 et si l'on observe que 



'dx /" œ e'"(lx 



on aura cette autre égalité : 



— C = Uni. I dx -+- 1. 



Enfin, Ton peut encore combiner avec cette équation la suivante, qui est 

 connue (*) : 



/" e " — cos (ix , 

 dx = 0, 

 x 



u 



et Ton aura la formule souvent utile 



/ /"" cos ax , \ 



(2) — C = /('«. I / </.r ■+- I. as 1 • 



(*) On y parvient très-simplement en intégrant la fonction ^^-dz le long d'un contour 

 fermé composé 1° de l'axe des x positifs; 2° d'un quart de circonférence de rayon indéfiniment 

 croissant; 5" de l'axe des y positifs; 4° d'un quart de circonférence de rayon infiniment petit 

 autour de l'origine. 



