12 RECHERCHES SUR LE DÉVELOPPEMENT 



on déduit sans peine celle-ci : 



S" e-^dx ^\_ r^^ dx fl-** s i naz dz = - flinazdz fe^+^dx, 

 J <r -t- x- aj J aj J 



O 



ou bien 



er^àx 1 /"" sin azdz 



a* -+- x* a J 



Si donc nous remplaçons a par 2»~, et si nous substituons dans l'expres- 

 sion de û(j>), celle-ci deviendra 



] " = " i /' œ sin Vnnz , 

 (2) a( P )=^> -/ dz. 







C'est de cette forme nouvelle, donnée à la transcendante s(u), que nous 

 allons maintenant déduire diverses conséquences remarquables. 



7. Observons d'abord que l'équation (2) peut s'écrire ainsi : 



I /"" dz /.„* sin 2hti 



*,»=- / — 2 - 



■k ,J \j. -+- z \ i n 







Or, la série qui figure sous le signe y est facile à sommer. On sait, en 

 effet, que pour toute valeur de u comprise entre zéro et 2n, l'on a 



'^* sin nu r u 



71 = 1 " - - 



(*) Voy. Meyer, Intégrales définies, p. 3Cd. Cette formule, à laquelle M. Schlomilch est par- 

 venu un peu moins simplement [Analytische Studien, t. II, p. 146), s'obtient encore comme 

 il suit : Si, dans la dernière équation de la page 43 de mon Mémoire sur la diffraction, on 

 pose a= 1 , on trouve 



dy. 



Mais on a 



/e-«* n P sin < 

 dx = - cos ace -+- / 

 a 2 -4-a; 2 2a «y n 1 — 



o o 



/sinj:» t /'"sin a» t /** sin «y 



a s — j/ s a,/ a+'j ' aj a--;/ 2 



et, en remplaçant celle dernière intégrale par sa valeur connue — T , cos «a, on retombera sur 

 la formule du texte. 



