DE LA FONCTION r. 15 



et comme le premier membre est une fonction périodique de u, à période %:, 

 on aura, pour toute valeur de u comprise entre 2#n et 2 (A : -f- l)n, k dési- 

 gnant un nombre entier quelconque, 



sin nu t u — 2&t 1k -t- I u 



■K ■ 



n 



2 2 9 2 



Donc aussi, pour toute valeur de z comprise entre k et k + 1. 



"^* sin 2m7tz 7r 



2 =-(2fc + l-2*). 



~ , n 2 



Décomposons l'intégrale ci-dessus en une infinité d'autres, ayant respec- 

 tivement pour limites et 1, 1 et 2, 2 et 3, etc., puisque l'on a 



/"-A A A - 



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et remplaçons, dans chacune de ces intégrales, la fonction Z sin ^" T " par la 

 valeur correspondante fournie par l'équation (3). Nous aurons évidemment 



b/i=- / dz -+- - / az ■+■ - / h-..., 



^ 2.7 f* -v- z 2./ p + z 2j p -t- z 



i 2 



ou bien 



1 »=«, ^i + i( 2 /,- + I — 2z) dz 



2 jt'o J h- ■*- z 



k 



ou enfin, en remplaçant z par k-\- x sous le signe d'intégration, afin d'avoir 

 pour limites zéro et l'unité , 



La transformation précédente présente ceci de remarquable, que la fonc- 

 tion ù(p), qui, dans les équations (1) et (2), était exprimée par une série 

 composée d'intégrales transcendantes, se trouve, dans l'équation (4), repré- 

 sentée par une série composée d'intégrales définies à différentielles ration- 

 nelles. La convergence de cette série résulte de la démonstration même. 



