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RECHERCHES SUR LE DÉVELOPPEMENT 



8. La formule (4) donne immédiatement la série de Gudermann. En effet, 



u.-t-k- 



-hh a/*^.-/— h*t -h;s 



-m = 2 



u H- fc -+- — ) I In 



2/ \ n -+- 



ce qui est la série de Gudermann. 



De même, si dans l'intégrale qui précède on développe la fonction 



suivant les puissances ascendantes de x, on obtient la série donnée par 

 Cauchy (*), ce qui n'offre ici que peu d'intérêt, puisque cette série n'est 

 qu'une simple transformation de la série de Gudermann (**). 



Mais, ce qui est plus curieux, l'équation (4) conduit aussi immédiatement 

 à la série double de Binet (***). En effet, posant 



x = 1 — z, dx = — dz, 

 on trouve 



ah* r Ri- 



J p+k + X J {ft-h fc-t- 1)— z' 



et comme z est égal ou inférieur à l'unité, on a en série convergente 

 1 r z___ z' t -j 



I 



(fi -+- A: -)- 1) 



(*) Exercices d'Analyse, t. II, p. 388, équation (6). Dans un rapport sur un travail de 

 M. De Tilly, j'ai attribué cette série à Féaux, d'après Gudermann [Journal de Crelle , t. XXIX, 

 p. 209), mais le mémoire de Cauchy est antérieur. 



(*') Limbourg, Théorie de la fonction Gamma, p. G2. 



(—) Journal de l'École polytechnique , 27°" Cahier, p. 226. — Voy. aussi Cauchy, Mcm. cité, 

 p. 588. 



