16 



RECHERCHES SUR LE DÉVELOPPEMENT 



Mais, 2 étant compris entre zéro et 2 , on a, en série toujours convergente, 



et, par suite, 



"** zhlz 



•y 



u. + k + - - Z 1 



t-jt 



fi + Jfc 



I 1 



Ï1F 5 *" 5.2" 



1 

 7.2 



*/ I 



' KH — 



P- 



5 (2a« -+- 2A; + I )' 2 5 (2* -*- 2A -+- l) 4 7 (2j* -*- 2Jt h- 1 )" 



Substituant dans la valeur de 3 (y.) et groupant les termes différemment , 

 nous aurons 



t « 



5 - 



= i 2.. ,.)„ + <ik-t- ff + îi A (2^-t-2fc-+- l) 4 + 7 A (2fi-t-2fc + l) 



série assez convergente lorsque p est un peu considérable. 



La relation (7) renferme diverses conséquences curieuses. Par exemple, 

 posons ^ = ^; nous trouverons 



■fâ = ^2 



! I v « 



5.2 s ^„ (/.■■+- t) 2 5.2 4 ^„(fc+l) 4 



ou, plus simplement, 



Mais on sait que 



2^ 3.2* A fc' 



1 y. I 



5.2 4 ^, />- 4 



2, /„•'-" | .2.5...2J 



2n 



R,, R â , ..., B„, ... désignant les nombres de Bernoulli. Substituant dans 

 l'équation ci-dessus, remplaçant s u) par sa valeur connue, qui est -(1 — 1.2), 

 nous trouverons cette formule curieuse : 



1 - I. 2 = 



1 .2.3 



1 .2.3.4.5 



1.2.5.4.5.0.7 



-B, 



