DE LA FONCTION r. 59 



ou encore 



(« 



^• r w. r c = _ 4 rA"f 



«/p. 



=--*/ 



e ■ sin /(v-. 



La série qui figure sous le signe d'intégration est facile à sommer. Il 

 suffit de poser 



et d'observer que Ton a 



Ç e -/«r(*-V=ï) | 



Multiplions haut et bas cette dernière expression par e ! '~ ;r+v ° pour rendre 

 réel le dénominateur. Nous aurons 



■=- , _ &** <-i" v ~ 



I — ïe* T: cos p?r -i- e^" 



et, en égalant les coefficients de |/ — 1 dans les deux membres, 



"=" e H ~~- sin p?r 



> e~"'" Tr sin «u7t = ■ 



„<«, r 1 — ae*" 3 "-- cos (**■ -(- e"'/'"-- 



Par cette substitution, l'équation (6) devient 



— 4 sin pr / 



rfu ' «/ 1 — 2e'" r -- cos pTT + éf r: 1 -i- s 2 



n 



et, par suite, 



(7) r _j^l _^= !_r d ^Lf>) + ci. 



y | _ 2e***" eos ^tt -h e 2 - UT -' 1 h- s 2 4 sin /xtt L r//* J 



h 



Cette intégrale est donc ramenée à une transcendante bien connue, 

 pourvu que la valeur de a soit moindre que l'unité. Par exemple, si l'on 

 transforme le second membre au moyen d'une relation donnée par Gauss, 

 on aura 



/ I — 2«' /T; cos «t -t- é 1 '^'- \ •+- z l ~ 4 sin ixxj \ — x 



