DE LA FONCTION r. 27 



§ V. 



DÉVELOPPEMENTS DE 55 (it) (suite). 



14. Reprenons la formule (2) du § III, savoir 







et montrons comment, par de simples intégrations par partie, on en déduit 

 la série de Stirling, avec deux expressions différentes pour le reste. 

 On a évidemment 



/" sin 2nia , 1 V P* cos " nnZ i 

 tlz = — I ; — , dz, 

 (m. + zY in*?' SiitzJ (m-+-:) p+i 







et aussi 



/"» cos2/I7tz . » + ) /'* sin2»a-z 

 / dz= / — T-r<.àz; 



o 



par conséquent 



/->"sin2mrz _J p(p+1) /™ sin 2n*z ^ 



(5) 7 ( P +- z)' 2»^* ~ (2»*) s J {r + zY* 



Faisant successivement /) = 1, 3, 5, ... , 2/; — 1, on aura 



/»- sin2MTZ 1 1.2 1-2.5.4 i . 2 ... (2p — 2) 



/ T^^ f/I_ 2^~(2«^) 3 ' 4 " (2«^)» ' '" + ( J (2«^)^' 



"i" 



s p désignant l'une quelconque des deux expressions 



I . 2 . 5 ... (2p — 1 ) /*■ cos 2nirz in* il? - 5 - 2 P f*~ sin 2>i7r * dz 



(_1)P ~ 72»»)*-' ~J (* + *)*' ( ' ' (Swr)* ./ (f + *)**' 



