28 RECHERCHES SUR LE DÉVELOPPEMENT 



Substituons dans l'équation (1), et groupons les termes affectés d'une 

 même puissance de i. Nous aurons immédiatement 



|r I K-J 1.2 15» I t. a. 5. 4 y I 



1.2...(2/>-2)*S" 1 v"Vl 



ou, en ayant égard à la formule déjà rappelée au n° 9, 



B,, B,, ... étant les nombres de Bernoulli, et R p étant donné par la formule 



\ .2.5... (2» — 1)"S" I />-cos27!7rz 



ou par celle-ci : 



1.2.5... 2/j",f= 1 X:"sin2nsrz 







La formule (4) coïncide avec la série de Stirling. Les foi-mules (S) et a (6) 

 donnent deux expressions nouvelles du reste qui complète la série, arrêtée 

 au p iimt terme. On déduit facilement de ces expressions, grâce à la périodi- 

 cité des fonctions cos %\r.z, sin %mz, diverses limites de l'erreur commise. 



15. Ainsi, d'abord, il est clair que l'on a, en valeur absolue, 



/"cos2«7rz r" dz I 



(/.+:f' ,:< ./ (r + zy^vp-i)**-'' 



1) o 



et par suite, la formule (o) donne, R ;) étant réduit à sa valeur absolue, 



1.2.5...(2j>-2) v 1 _ H„ 



" 2-" - ' *"■ ffl ' ^ , >r" ( 2p — I ) -lp . «.•'' " ' ' 



