50 RECHERCHES SLR LE DÉVELOPPEMENT 



Aussi longtemps que (2jt> + 1 ) (2j0 + 2) est inférieur à (2^)-, la limite 

 inférieure qui précède reste positive pour les diverses valeurs de n; elle peut 

 donc être avantageusement substituée à zéro, et l'on trouve, en opérant comme 

 plus haut, 



1.2. 5. ..2/) „. I 1.2. 3. ..(2» -h 2) _,„ 1 



1 '■ ' 2 2 '' +1 7^ 2 '' +2 u 2 '' +, , ir'' + " 2 s ' ,+3 7r"'' + V'' ,,+3 i >i" p+i 



ou, plus simplement, 



(8) R„ > 



(2jo -h I) (2p -t- 2)m 2 "" m (2p -♦- 5) (2p -h 4) ,a-"+ 3 



11 résulte des inégalités (7) et (8) que le reste K p , en valeur absolue, 



est toujours moindre que le premier terme négligé de la série, et toujours 



plus grand que la différence entre ce terme et le suivant, du moins aussi 



longtemps que Ton a 



(2p + l)(2p + 2) <{**ff. 



D'où il suit que si l'on prend pour R p la valeur suivante : 



Rp=(— 1 '"L(2p+ 1) (2p -+- 2) ft* +l 2(2p + 5)(2p-+-4)^ +5 J' 



la valeur de s(p) fournie alors par l'équation (4), ne différera de la valeur 

 exacte que d'une quantité moindre que la moitié du p ■+■ â èrae terme, savoir 



1 B. 



p+* 



2 (2p -+- 5) (2p -t- 4) m 2 ' ,+3 



Il serait facile d'assigner encore d'autres limites pour R p , mais nous ne 

 nous y arrêterons pas, notre but étant simplement de faire remarquer les 

 formules (5) et (6). 



1(5. Il nous reste à montrer comment la relation fondamentale (4) con- 

 duit, fort simplement, à l'élégant développement de I. Y (p.) en série pério- 



