DE LA FONCTION F. 31 



clique pour le cas de p < 1, développement que M. Kummer a donné dans 

 le Journal de Crelle (*). 



Posons, dans l'équation (1), p + z = y, d'où 



/"" sin 2«7rz /"'"sinS^Trl» — u.) /""sin ~lnn{<i — u) /'*'*sin2w7r(i/ — n) 



(9)/ <fe = / — -<fy=/ — dy—l ■ -dy , 



J p-*-z .7 /y J y J y 



n ju. e e 



s désignant une quantité positive aussi petite qu'on le veut. Or, on a 



/"sin2M7r(i/ — u) , /*"sin2fl»ru r'cosln-ny 

 : du = cos 2»f*T / -iny — sin 2«/mi / —dy, 

 y J y J y 



et, tandis que la première intégrale du second membre tend vers * lorsque e 

 tend vers zéro, il résulte de la formule (3) du § II que la seconde diffère 

 infiniment peu de — (C -J- I. 2nne). 



D'autre part, l'intégration par partie donne 



/Msin 2wtt (w — p) r H- 

 dy = sin 2«t (fi — e) 1. e — 2ht / I. w cos 2»t (?/ — fi) dy. 

 !/ ï 



* 



Substituons ces résultats dans l'équation (9), et faisons tendre e vers zéro, 

 en observant (pie le terme aifecté de 1. s, savoir 



[sin 2?i|U7r — sin 2/cr (^ — e)l I. e 



tend vers zéro en même temps que s; nous aurons cette équation remar- 

 quable : 



/•" sin 2«t: z r P 



— dz = - cos 2«a» + (C + ]. 2/*t) >in 2h^t h- 2«t / I. y cos 2«7r (fi — ?y) </y. 

 v- -+- 2 2 ï 



(*) Beitrag zur Théorie der Function r ; Journal de Crelle, i. XXXV, p. I. — M. Schlômilch 

 a démontré la même formule par une voie différente et très-simple (Compend. der hôh. Anal. 



t. il, p. 25a. 



