32 RECHERCHES SLR LE DÉVELOPPEMENT 



L'équation (1) deviendra donc 



(10) Er(tt)=-> — H- -> - - sin 2«p7r -t- 2 > / l.?/cos2«7r(u. — y) dy. 



-n=l 



Mais il résulte de l'une des formes sous lesquelles on peut présenter la 

 série de Fourier (*) que, si p est compris entre zéro et l'unité, on a, pour 

 une valeur quelconque de x entre zéro et p, 



9 (x) = f ? (y) dy ■*- S J" y ? (.'/) cos 2«7T (x — y) rfy, 



u o 



le premier membre devant être réduit à la moitié lorsque x = p. 



Donc, si nous prenons ? (*) = l.r, et si nous posons x — p, il viendra 



- 1. /i = f t. y ('// ■+- 2 ^ y '• y eos 2" t (f — .y) f 'y- 



Remplaçons, dans l'équation (10), le dernier ternie par sa valeur tirée 

 de l'équation précédente ; observons aussi que Ton a 



~p "^T cos 2«ft7r . 



/ \.ydy = p.\.p — p., 2à = — 1. 2sin[tjt, 



» = 1 w 



et cette équation (10) prendra la forme 



1 / l\, 1 "=» C -+- 1. 2»* . 



CT (u) = _ I. 2 SÎ1I /*7r — U— - 1.^ -t- ^ -f- - > Slll2«a-. 



Enfin, substituons cette valeur de s(ji) dans la formule (1) du § I, nous 

 aurons 



(II) . . . I.r(^=-1. -.- -+--2 sin2npsr, (a<I). 



2 sin ,ut >r ,f^, n 



Telle est la série de M. Kummer. II n'est pas^ans intérêt d'observer qu'elle 



(') Vov., par exemple, Duhamel, Cours d'Analyse (1847), t. II, p. 166. 



